Persamaan Bernoulli pada Bidang Datar

 

Sebelumnya kita telah belajar mengenai prinsip Om Bernoulli. Nah, Om Bernoulli juga mengembangkan prinsipnya itu secara kuantitatif. Untuk menurunkan persamaan Bernoulli, kita anggap aliran fluida tunak & laminar, tak-termampatkan alias tidak bisa ditekan, viskositas alias kekentalannya juga kecil sehingga bisa diabaikan.

Pada pembahasan mengenai Persamaan Kontinuitas, kita sudah belajar bahwa laju aliran fluida juga dapat berubah-ubah tergantung luas penampang tabung alir. Berdasarkan prinsip om Bernoulli yang dijelaskan di atas, tekanan fluida juga bisa berubah-ubah tergantung laju aliran fluida tersebut. Selain itu, dalam pembahasan mengenai Tekanan Pada Fluida (Fluida Statis), kita juga belajar bahwa tekanan fluida juga bisa berubah-ubah tergantung pada ketinggian fluida tersebut. Nah, hubungan penting antara tekanan, laju aliran dan ketinggian aliran bisa kita peroleh dalam persamaan Bernoulli. Persamaan bernoulli ini sangat penting karena bisa digunakan untuk menganalisis penerbangan pesawat, pembangkit listrik tenaga air, sistem perpipaan dkk.

Agar persamaan Bernoulli yang akan kita turunkan berlaku secara umum, maka kita anggap fluida mengalir melalui tabung alir dengan luas penampang yang tidak sama dan ketinggiannya juga berbeda (lihat gambar di bawah). Untuk menurunkan persamaan Bernoulli, kita terapkan teorema usaha dan energi pada fluida dalam daerah tabung alir (ingat kembali pembahasan mengenai usaha dan energi). Selanjutnya, kita akan memperhitungkan banyaknya fluida dan usaha yang dilakukan untuk memindahkan fluida tersebut.

Warna buram dalam tabung alir pada gambar menunjukkan aliran fluida sedangkan warna putih menunjukkan tidak ada fluida.
Fluida pada luas penampang 1 (bagian kiri) mengalir sejauh L1 dan memaksa fluida pada penampang 2 (bagian kanan) untuk berpindah sejauh L2. Karena luas penampang 2 di bagian kanan lebih kecil, maka laju aliran fluida pada bagian kanan tabung alir lebih besar (Ingat persamaan kontinuitas). Hal ini menyebabkan perbedaan tekanan antara penampang 2 (bagian kanan tabung alir) dan penampang 1 (bagian kiri tabung alir) – Ingat prinsip Bernoulli. Fluida yang berada di sebelah kiri penampang 1 memberikan tekanan P1 pada fluida di sebelah kanannya dan melakukan usaha sebesar :

Maka persamaan W1 bisa ditulis menjadi :
W1 = P1A1L1
Pada penampang 2 (bagian kanan tabung alir), usaha yang dilakukan pada fluida adalah :
W2 = -P2A2L2

Tanda negative menunjukkan bahwa gaya yang diberikan berlawanan dengan arah gerak. Jadi fluida melakukan usaha di sebelah kanan penampang 2.
Di samping itu, gaya gravitasi juga melakukan usaha pada fluida. Pada kasus di atas, sejumlah massa fluida dipindahkan dari penampang 1 sejauh L1 ke penampang 2 sejauh L2, di mana volume fluida pada penampang 1 (A1L1) = volume fluida pada penampang 2 (A2L2). Usaha yang dilakukan oleh gravitasi adalah :

W3 = -mg(h2-h1)
W3 = mgh1 – mgh2

Tanda negative disebabkan karena fluida mengalir ke atas, berlawanan dengan arah gaya gravitasi. Dengan demikian, usaha total yang dilakukan pada fluida sesuai dengan gambar di atas adalah :

W = W1 + W2 + W3
W = P1A1L1 – P2A2L2 + mgh1 – mgh2

Teorema usaha-energi menyatakan bahwa usaha total yang dilakukan pada suatu sistem sama dengan perubahan energi kinetiknya. Dengan demikian, kita bisa menggantikan Usaha (W) dengan perubahan energi kinetik (EK2 – EK1). Persamaan di atas bisa kita tulis lagi menjadi :

W = P1A1L1 – P2A2L2 + mgh1 – mgh2
EK2 – EK1 = P1A1L1 – P2A2L2 + mgh1 – mgh2
½ mv22 – ½ mv12 = P1A1L1 – P2A2L2 + mgh1 – mgh2

Ingat bahwa massa fluida yang mengalir sejauh L1 pada penampang A1 = massa fluida yang mengalir sejauh L2 (penampang A2). Sejumlah massa fluida itu, sebut saja m, mempunyai volume sebesar A1L1 dan A2L2, di mana A1L1 = A2L2 (L2 lebih panjang dari L1).

Ini adalah persamaan Om Bernoulli. Persamaan om Bernoulli ini kita turunkan berdasarkan prinsip usaha-energi, sehingga merupakan suatu bentuk Hukum Kekekalan Energi

Ruas kiri dan ruas kanan pada persamaan Bernoulli di atas bisa mengacu pada dua titik di mana saja sepanjang tabung aliran sehingga kita bisa menulis kembali persamaan di atas menjadi :

Persamaan ini menyatakan bahwa jumlah total antara besaran-besaran dalam persamaan mempunyai nilai yang sama sepanjang tabung alir.

Sekarang mari kita tinjau persamaan Bernoulli untuk beberapa kasus.

Persamaan Bernoulli pada Fluida Diam

Kasus khusus dari persamaan Bernoulli adalah untuk fluida yang diam (fluida statis). Ketika fluida diam alias tidak bergerak, fluida tersebut tentu saja tidak punya kecepatan. Dengan demikian, v₁ = v₂ = 0. Pada kasus fluida diam, persamaan Bernouli bisa kita rumuskan menjadi :

Persamaan Bernoulli pada Tabung Alir atau Pipa yang ketinggiannya sama

Jika ketinggian tabung alir atau pipa sama, maka persamaan Bernoulli bisa dioprek menjadi :